$\mathbf{R}^n$中的紧集是闭有界集.

证明：先证明

$\mathbf{R}$中的紧集是闭有界集.

 

设$S$是$\mathbf{R}$中的紧集.先证$R\backslash S$是开集.

证明采用反证法.假设$R\backslash S$不是开集，则$\exists p\in R\backslash S$,使得$p$的任意小邻域内总有属于$S$的点.

设$\varepsilon$是一个正实数，构造可数无限开集集合$T$,$T$是由下面的开集组成.

$$(-\infty,p-\frac{\varepsilon}{2^0})\bigcup (p+\frac{\varepsilon}{2^0},+\infty),(-\infty,p-\frac{\varepsilon}{2^1})\bigcup (p+\frac{\varepsilon}{2^1},+\infty),\cdots,(-\infty,p-\frac{\varepsilon}{2^n})\bigcup (p+\frac{\varepsilon}{2^n},+\infty),\cdots$$

易得$T$覆盖$S$,但是$T$的任何有限子集都不覆盖$S$.这与$S$的紧致性矛盾.可见$R-S$是开集.所以$S$是闭集.

下证$S$是有界的.

证明仍然采用反证法.假设$S$是无界的.不妨令$S$无上界.我们构造一个无限开区间集合$K$,$K$是由下面的开区间组成

$$(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),\cdots,(2n,2n+2),(2n+1,2n+3),\cdots$$

显然，$K\bigcup (-\infty,1)$是$S$的一个开覆盖.然而这个开覆盖不可能有有限子覆盖，否则$S$就有上界了.$S$的开覆盖没有有限子覆盖，这与$S$的紧致性矛盾.假设不成立.所以$S$是有上界的.同理可证$S$有下界.因此$S$是有界的.$\Box$

 

 

证好了$\mathbf{R}$中的情形，下面来证$\mathbf{R}^n$中的情形.

构造函数$f_i:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}$.$f_i$的规则是$\forall a=(a_1,\cdots,a_n)\in \mathbf{R}^n$,$f_i(a)=a_i$.设$S$是$\mathbf{R}^n$中的紧集，则易得$f_i(S)$是$\mathbf{R}$中的紧集.而$\mathbf{R}$中的紧集是闭有界集.而且易得若$S_i(\forall 1\leq i\leq n)\in \mathbf{R}$是$\mathbf{R}$中的闭有界集,则$S_1\times\cdots\times S_n$是$\mathbf{R}^n$中的闭有界集.